Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Замечание 2. Если помимо существования всех частных производных добавить еще и требование их

Читайте также:
  1. БОЛЬНЫЕ МЕСТА ПУБЛИКИ (ОДНО НЕОСТОРОЖНОЕ ЗАМЕЧАНИЕ СПОСОБНО ПОГУБИТЬ ЛЮБОЕ ВЫСТУПЛЕНИЕ)
  2. Важнейшее замечание отдельной строкой
  3. Второе важное замечание.
  4. Заключительное замечание
  5. Замечание
  6. Замечание 2

Если помимо существования всех частных производных добавить еще и требование их непрерывности, то из этого уже будет вытекать дифференцируемость функции.

Справедлива следующая теорема:

Если функция z=f(x,y) имеет непрерывные в точке (x,y), частные производные (x,y), (x,y), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных

dz=

По определению для любой дифференцируемой в точке (x,y) функции z=f(x,y)

dz= (x,y)Dx+ (x,y)Dy

Полагая, в частности, z=x (т. е. f(x,y) ) получаем

dz=dx=1Dx+0Dy=Dx

т. е. dx=Dx

Аналогично пусть z=y, тогда dy=Dy

Т.о. дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных итогда dz= (x,y)dx + (x,y)dy

 

dz=
Или (2)

 

Эта форма записи дифференциала называется инвариантной т. е. дифференциал функции z=f(x,y) сохраняет один и тот же вид независимо то того, являются ли ее аргументы u и v независимыми переменными или функциями то независимых переменных

Доказательство:

Пусть z=f(x,y), где x=x(u,v) y=y(u,v) x,y дифференцируемы в точке (u,v) f(x,y) дифференцируема в точке (x,y)

Тогда z=f(x(u,v), y(u,v)) будет дифференцируема в точке (u,v)

На основании (2)

d z=

 

Используя правило дифференцирования сложной функции:

dz= + =

 

Т.о. если х и у -независимые переменные и х и у –зависимые переменные, то

dz=
дифференциал

 

 

В связи с этим данная форма записи полного дифференциала называется инвариантной.

 

 


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 83 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции нескольких пере­менных | Понятие предела функции двух и более переменных | Частные производные | Дифференцируемость функции нескольких переменных | Необходимые условия дифференцируемости | Достаточные условия дифференцируемости. | Замечание | Теорема | Экстремумы функций нескольких переменных | Правило определения экстремума функции двух независимых переменных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дифференциал| Функции двух переменных.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)