Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Необходимые условия дифференцируемости

Читайте также:
  1. I. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ
  2. I. Работы с тяжелыми и вредными условиями труда
  3. I.4.1. Общие условия службы.
  4. II. Назначение лекарственных препаратов при оказании медицинской помощи в стационарных условиях
  5. II. Организационно-педагогические условия реализации программы
  6. II. Порядок и условия принятия на учет для получения единовременной социальной выплаты
  7. II. Условия предоставления коммунальных услуг

 

Теорема 1. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х,у), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х,у), то, как следует из соотношения (1),, а это значит, что функция

 

f(x,y) непрерывна в тоске (х,у).

 

Теорема 2. Если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), то она имеет в этой точке частные производные f′х(x,y) и f′у(x,y).

Доказательство. Так как функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (x,y), то для любых Δ x и Δ y (не выходящих за пределы рассматриваемой окрестности) имеет место соотношение (1). Полагая в нем Δ y =0, имеем Δ xz=А(х,у) Δ x1Δ x, где α1 – бесконечно малая при Δx→0, получаем:

 

Следовательно, в точке (х,у) существует частная производная f′х(x,y) и f′х(x,y) = А(х,у).

Аналогично доказывается, что в точке (х,у) существует частная про­изводная f′х(x,y) и f′х(x,y) = В(х,у).

Обратные утверждения к теоремам 1 и 2 неверны. Из непрерывности функции двух переменных в точке, а также из существования ее частных производных в этой точке не следует дифференцируемость функции.

Для того чтобы функция двух переменных была дифференцируема в дан­ной точке, на нее, в отличие от функции одной переменной, надо нало-

жить более жесткие требования, чем существование частных производных в этой точке.

 

 


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 100 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции нескольких пере­менных | Понятие предела функции двух и более переменных | Частные производные | Дифференциал | Замечание 2 | Функции двух переменных. | Замечание | Теорема | Экстремумы функций нескольких переменных | Правило определения экстремума функции двух независимых переменных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дифференцируемость функции нескольких переменных| Достаточные условия дифференцируемости.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)