Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Достаточные условия дифференцируемости.

Читайте также:
  1. I. ОБЩИЕ УСЛОВИЯ
  2. I. Работы с тяжелыми и вредными условиями труда
  3. I.4.1. Общие условия службы.
  4. II. Назначение лекарственных препаратов при оказании медицинской помощи в стационарных условиях
  5. II. Организационно-педагогические условия реализации программы
  6. II. Порядок и условия принятия на учет для получения единовременной социальной выплаты
  7. II. Условия предоставления коммунальных услуг

 

Теорема. Если в некоторой окресности точки (x,y) существуют частные производные и функции z= (x,y) и эти производные непрерывны в самой точке (x,y), то функция (x,y) дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Для любых Dx и Dy (не выходящих за пределы рассматриваемой окресности) имеем:

Dz= f (x+Dx,y+Dy)-f(x,y)=(f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y+Dy))+(f(x,y+Dy)-f(x,y))

Разность f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y+Dy) можно рассматривать как приращение функции одной переменной Х: f(x,y+Dy) при переходе от x к x+Dx. Так как в каждой точке отрезка [x,x+Dx] (или [x+Dx,x] если Dx<0) эта функция имеет производную, совпадающую с , то по теореме Лагранжа получаем:

(x+Dx,y+Dy)- (x,y+Dy)=

Где 0<q1<1

Аналогично для второй разности получаем:

(x,y+Dy)-f(x,y)=

Где 0<q2<1

Таким образом,

Dz= (x+q1Dx,y+Dy)Dx+ (x,y+q2Dy)Dy, где 0<q1,2<1

Функции и непрерывны в точке (x,y), значит,

(x+q1Dx,y+Dy)=

(x,y+q2Dy)=

т. е. (x+q1Dx,y+Dy)= (x,y)+a1, (x,y+q2Dy)= +a2,

Где a1 a2 – бесконечно малые при. Dx . Подставляя эти значения в формулу (2) для Dz, пoлучаем

 

Dz= (x,y)Dx+ (x,y)Dy+a1 Dx+a2Dy,

Где a1, a2 –бесконечно малые при, Dx а это и значит, что функция f(x,y) дифференцируема в точке (x,y).

С помощью только что доказанной теоремы мы можем устанавливать дифференцируемость для широкого класса функций.

Так, например, функция z=x2 ex2y3 в любой точке (x,y) дифференцируема, так как ее частные производные dz/dy=3x4 y2 ex2y3 и dz/dx=(2x+2x3 y3) ex2y3 всюду непрерывны; функция z= дифференцируема в каждой точке полуплоскости x+y>0, так как там существуют и непрерывны ее частные производные dz/dy=dz/dx=1/(2 ), и т. д.

Понятие дифференцируемости для функций трех и большего числа переменных вводится совершенно аналогично рассмотренномувыше случаю двух переменных.

Функция u=f(x,y,z,…w), определенная в некоторой окресности точки (x,y,z,…... w)n-мерного пространства, называется дифференцируемой в этой точке, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

Du=A(x,y,z,…. w)Dx+B(x,y,z,…. w)Dy+C(x,y,z,…. w)Dz+…..+

+M(x,y,z,…. w)Dw+a1 Dx+a2Dy+…+anDw

Где a1…..an - бесконечно малые при Dx Dz ,…..Dw . Слагаемое a1Dx+a2Dy+…+anDw часто записывают в виде a*r, причем для дифференцируемой функции a при r= .

Имеют место следующие необходимые (теорема1¢) и достаточные (теорема2¢) условия дифференцируемости.

Теорема 1.

Функция f(x,y,z,…. w), дифференцируемая в точке (x,y,z,…. w) непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные по всем независимым переменным.

Теорема 2.

Если функция f(x,y,z,… w) в некоторой окресности точки (x,y,z,…w) имеет частные производные по переменным x,y,z,…. w и если эти частные производные непрерывны в самой токе (x,y,z,…. w), то функция дифференцируема в этой точке.

Функция (любого числа переменных), дифференцируема в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

 


Дата добавления: 2015-08-13; просмотров: 80 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Функции нескольких пере­менных | Понятие предела функции двух и более переменных | Частные производные | Дифференцируемость функции нескольких переменных | Замечание 2 | Функции двух переменных. | Замечание | Теорема | Экстремумы функций нескольких переменных | Правило определения экстремума функции двух независимых переменных |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Необходимые условия дифференцируемости| Дифференциал

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)