Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Читайте также:
  1. Quot;Сигналы служат для обеспечения безопасности движения, а также для четкой организации движения поездов и маневровой работы.
  2. V. ТИПОВАЯ ФРАЗЕОЛОГИЯ РАДИООБМЕНА ДИСПЕТЧЕРОВ ОРГАНОВ ОБСЛУЖИВАНИЯ ВОЗДУШНОГО ДВИЖЕНИЯ (УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТАМИ) С ЭКИПАЖАМИ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ
  3. Аварийное короткое замыкание и опыт короткого замыкания однофазного трансформатора. Основные уравнения и векторная диаграмма.
  4. Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка.
  5. Анализ обеспеченности предприятия трудовыми ресурсами, движения кадров и использования рабочего времени.
  6. Аналитическое и графическое определение предельной адсорбции по уравнениям Гиббса и Ленгмюра.
  7. Аппарат опоры движения. Возрастные особенности позвоночника кифоз, лордоз.

В кинематике была получена формула, связывающая абсолютную и относительную производные переменного вектора

(82)

Напомним, что здесь - абсолютная производная, вы­деляемая неподвижным наблюдателем; - относительная производная, вычисляемая подвижным наблюдателем; - угловая скорость подвижного наблюдателя.

Перейдем к составлению уравнений движения твер­дого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О.

Кинетический момент твердого тела в этом случае вы­ражается формулой

(Свяжем систему осей Oxyz с вращающимся телом и воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента с учётом формулы (82)

(83)

 

Тензор инерции твердого тела в осях, связанных с самим телом, будет постоянным, поэтому относительная производная его будет , и выражение (83) следует записать в виде

(84)

Тогда векторное уравнение вращения твердого тела вокруг не­подвижной точки будет иметь вид

(85)

 

Предполагая оси х, у, z главными, имеем

 

Проекции уравнения (85) на оси, связанные с телом, будут

(86)

Уравнения (86) называются динамическими уравнениями Эйлера.

Перейдем теперь к общему случаю движения свободного твердого тела в пространстве, которое всегда можно разбить на два более простых движения: поступательное движение вместе с произвольно выбранным полюсом и вращательное движение вокруг этого полюса. Такому представлению движения твердого тела соответствуют и уравнения движения, которые распадаются на уравнения движения полюса и урав­нения вращения твердого тела.

Уравнения движения полюса получим, используя теорему об изменении количества движения системы , здесь — главный вектор внешних сил, приложенных к твёрдому телу, а количество движения твердого тела определяется формулой

(91)

где М - масса твердого тела; vA, vc — скорости полюса и центра инерции тела; —его угловая скорость, а —радиус-вектор, проведенный из полюса А в центр инерции тела С.

Подстановка количества движения твердого тела (91) в теорему об изменении количества движения дает

(92)

Поскольку, как уже указывалось, удобнее составлять уравнения движения в осях, связанных с твердым телом, необходимо абсолютные производные, стоящие в соотношении (92), выразить по формуле (82) через относительные; тогда

(93)

Здесь уже принято во внимание, что , так как для наблюдателя, связанного с твердым телом, вектор постоянен. Подставив формулы (93) в уравнение (92), получим

(94)

Уравнение (94)- дифференциальное уравнение движения полюса А эквивалентно трем уравнениям в проекциях на оси х, у, z, связанные с телом; проектируя его, например, на ось х, имеем:

(95)

Остальные два уравнения (в проекциях на оси у и z) по­лучаются из уравнения (95) круговой перестановкой индек­сов.

Переходим к выводу дифференциального уравнения вра­щения твердого тела вокруг полюса А. Для этого в теорему об изменении кинетического момента следует подставить общее выражение кинети­ческого момента (73), которое в данной ситуации вы­годнее представить так:

(96)

Беря абсолютные производные по времени, находим

(97)

В правой части уравнения (97) совершен известный пе­реход от главного момента относительно точки О к главному моменту относительно точки А (полюса); при этом первые слагаемые в левой и правой частях сокращаются. Учитывая далее формулы (91), (93), преобра­зуем уравнение (97) к следующему виду:

(98)

Но первое слагаемое в полученном соотношении тождественно равно нулю, а второе и третье - сокра­щаются, поэтому уравнение вращения твердого тела вокруг полюса А примет такой вид:

(99)

Уравнение (99) эквивалентно трем уравнениям в проек­циях на оси х, у, z, связанные с твердым телом; проекция его на ось х будет выглядеть так (напоминаем, что оси х, у, z – главные оси инерции в точке А

(100)

Остальные два уравнения (проекции на оси x и y) можно получить из уравнения (100) круговой перестановкой индексов. Если полюс А поместить в центр инерции тела С, то и уравнения (94) и (99) существенно упрощаются; в этом случае имеем

; (101)

Именно эти уравнения обычно употребляются при изучении движения твёрдого тела в пространстве (самолёт, подводная лодка и т.д.).

 


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 183 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Динамика системы материальных точек | Теорема об изменении количества движения системы материальных | Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек. | Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки. | Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции. | Главные оси инерции и главные моменты инерции. | Вычисление моментов инерции. | Преобразование моментов инерции. | Кинетический момент твердого тела. | Реакция оси вращающегося тела. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Кинетическая энергия твёрдого тела.| Динамика плоско-параллельного движения тела.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)