Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальные уравнения вида

Читайте также:
  1. Аварийное короткое замыкание и опыт короткого замыкания однофазного трансформатора. Основные уравнения и векторная диаграмма.
  2. Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка.
  3. Аналитическое и графическое определение предельной адсорбции по уравнениям Гиббса и Ленгмюра.
  4. Безразмерные переменные (числа подобия) и уравнения подобия.
  5. В-5. Положительные направления электромагнитных величин, уравнения напряжения и векторные диаграммы источников и приемников электрической энергии
  6. Выражения с переменными
  7. Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли.

Дифференциальные уравнения вида

 

или (2.5)

 

называют уравнениями с разделяющимися переменными. Умножением на иделением на уравнение приводится к виду

, , (2.6)

в котором переменная находится в одной части равенства, а переменная – в другой, т.е. переменные разделены. Интегрируя уравнение (2.6), получим , которое задаёт решение в неявном виде.

Уравнение, записанное в виде

,

также будет уравнением с разделяющимися переменными. Перенесём второе слагаемое в правую часть:

,

разделим на выражение и получим уравнение , в котором переменные x и y разделены.

Пример 2.1. Решить уравнение , .

Решение. Данное уравнение есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим его в виде или , откуда . Переменные разделены, интегрируем: .

Найдем интеграл, стоящий в левой части,

.

Возвращаясь к предыдущему равенству, получаем

, , , .

Обозначив произвольную постоянную через и выразив из последнего равенства, получим общее решение уравнения . При делении на могли быть потеряны решения и . Очевидно, что они удовлетворяют уравнению.

Пример 2.2. Найти общее решение уравнения , .

Решение. Делим обе части уравнения на : .

Интегрируем: т.е. .

Решение получено в неявном виде. Оно является общим интегралом уравнения.

Пример 2.3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Решение. Имеем или . Интегрируем:

, т.е. .

Отсюда − общее решение дифференциального уравнения. Оно представляет собой семейство гипербол. Выделим одну из них, которая проходит через точку (3;1). Подставим , в общее решение: , . Следовательно, − искомое решение дифференциального уравнения.


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 83 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Дифференциальные уравнения и ряды | Линейные уравнения. Уравнение Бернулли | Примеры для самостоятельного решения | Уравнения, допускающие понижение порядка | Однородные линейные уравнения | Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами | Неоднородные линейные уравнения | Метод вариации произвольных постоянных | Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами | Глава 2. Ряды |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дифференциальные уравнения первого порядка| Однородные дифференциальные уравнения

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)