Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.

Читайте также:
  1. IV ОТНОШЕНИЕ КОММУНИСТОВ К РАЗЛИЧНЫМ ОППОЗИЦИОННЫМ ПАРТИЯМ
  2. IV. Отношение коммунистов к различным оппозиционным партиям
  3. IV. ОТНОШЕНИЕ КОММУНИСТОВ К РАЗЛИЧНЫМ ОППОЗИЦИОННЫМ ПАРТИЯМ
  4. Адресоваться к различным сегментам в каждой стране
  5. Б) Из собственных средств предприятия.
  6. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в данном базисе.
  7. Балансирование набора стратегических зон хозяйствования с различными жизненными циклами

Будем вести индукцию по n. В случае n =1 любое преобразование имеет вид

Поэтому любой ненулевой вектор х является собственным, и доказывать нечего.

Предположим, что утверждение теоремы верно для симметрических преобразований в евклидовом пространстве размерности n-1, и в этом предположении докажем его для евклидова пространства размерности n.

Прежде всего возьмем какое-либо собственное значение λ1 симметрического преобразования f. По теореме о действительности корней уравнения симметрической матрицы λ1 – действительно число. Пусть а 1 – соответствующий собственный вектор.

Обозначим через S – множество всех векторов , ортогональных к а 1

Так как подпространство S есть ортогональное дополнение к линейной оболочке L(а 1), то его размерность равна n-1. Покажем, что это подпространство выдерживает действие f. Это означает, что если , то . Действительно,

Из сказанного следует, что действие f на всем пространстве V можно при желании сузить до действия f на подпространстве S. Применяя предположение индукции, получим, что в S существует ортогональный базис , состоящий из собственных векторов преобразования, т.е.


Вместе с равенством это доказывает нашу теорему.

 


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Неравенство треугольника. | Линейная независимость лестничной системы векторов. | Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.| Докажите, что предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние существуют.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)