Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

Читайте также:
  1. I. Обретение независимости португальскими колониями
  2. II. Попытки навязать Турции условия Антанты
  3. III. Предоставление независимости Намибии
  4. III. Условия проведения Конкурса
  5. VI. УСЛОВИЯ ПОДВЕДЕНИЯ ИТОГОВ
  6. VII. Условия конкурса
  7. VII.УСЛОВИЯ ФИНАНСИРОВАНИЯ

12 Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования для односвязной области

Пусть в области D заданы непрерывные функции P(x,y) и Q(x,y) и M0M – гладкая дуга, лежащая в области D.

Рассмотрим вопрос о независимости интеграла от формы пути интегрирования. Место имеет следующая теорема:

Теор. Пусть функции P,Q,P’Y,Q’X определены и непрерывны в односвязной ограниченной замкнутой области D в плоскости Oxy. Тогда следующие четыре условия равносильны между собой:

1) , где L- замкнутый контур в области D;

2) Интеграл не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от положения точек M0 и M.

3) Pdx+Qdy=dU- полный дифференциал некоторой функции U(x,y)

4) dQ/dx=dP/dy в каждой точке области D

1=>2

2=>3

Пусть A(x0,y0), является функцией от x,y, т.е.

u(x,y) = . Чтобы показать дифференцируемость u(x,y) т.е. du=Pdx+Qdy, достаточно доказать для По определению частной производной:

, где т.С( можно взять прямолинейным y=const. Тогда

И по теореме о среднем для определенного интеграла получаем

Аналогично доказывается равенство du/dy

3=>4 Из условия 3 следует, что по теореме о равенстве частных производных высших порядков, отличающихся порядком дифференцирования,

4=>1

Пусть гладкая замкнутая кривая L*D ограничивает область

Тогда по формуле Грина


13.Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности. Достаточное условие существования невертикальной касательной плоскости

Если поверхность задана явно: z = f(x; у), то в точке X0(x0; y0; z0) она обладает касательной плоскостью

 

 

и нормалью

 


14. Понятие гладкой поверхности

Задание поверхности уравнением z=f(x,y)) (1) or x=f(y,z) (2) or y=f(x,z) (3)называется явным

Задание поверхности уравнением z=f(x,y,z) называется неявным

-параметрическое задание

Опр.

Пусть поверхность Ф задана явно, либо неявно, либо параметрически. Будем называть поверхность Ф гладкой, если для любой ее точки существует такая окрестность, которая вырезает часть поверхности Ф, допускающую явное представление любого вида(1,2,3), где f- непрерывно дифференцируемая функция

Если поверхность Ф задана явно уравнением (1) и функция f(x, y) непрерывно

дифференцируема в области G, то поверхность, очевидно, является гладкой.

Пусть поверхность Ф задана неявно уравнением (1) и пусть функция F(x, y, z) непрерывно дифференцируема. Точка М0(x0, y0, z0) поверхности Ф называется неособой, если в этой точке Fx2 + Fy2 + Fz2 ≠ 0. В противном случае точка называется особой. Если поверхность не содержит особых точек, то она является гладкой.


15. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной параметрически

Пусть поверхность Ф задана параметрически уравнениями (x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v), (u, v) ∈ g,), или, что то же самое,

уравнением (r = ϕ(u, v) i + ψ(u, v) j + χ(u, v) k, (u, v) ∈ g,). Точка M0(ϕ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)) называется неособой точкой поверхности Ф, если в этой точке векторы

ru = i ϕu(u, v) + j ψu(u, v) + k χu(u, v),

rv = i ϕv(u, v) + j ψv(u, v) + k χv(u, v), неколлинеарны (линейно независимы). В противном случае точка M0 называется особой. Простая поверхность, не имеющая особых точек, является гладкой.

Уравнение касательной плоскости к поверхности Ф в неособой внутренней точке M(ϕ(u,v), ψ(u, v), χ(u, v)) имеет вид A(x − x0) + B(y − y0) + B(М0)(z − z0) = 0.

где x0 = ϕ(u, v), y0 = ψ(u, v), z0 = χ(u, v),

Вектор N = [ru · rv] = i A + j B + k. С есть вектор нормали к поверхности Ф в точке M.

Векторы ru и rv, отложенные от точки M, лежат в касательной плоскости (рис).

 


16. Определение площади поверхностей, заданных в явном виде и параметрически


17


Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 124 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Условно и абсолютно сходящиеся ряды. Перестановочное св-во абсолютно сходящихся рядовъ | Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье | Определение двойного интеграла. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывных в ограниченной замкнутой области функций. | Доказательство |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определение криволинейного интеграла первого рода. Свойства| Введение

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)