Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

У линейного преобразования могут отсутствовать собственные векторы

Читайте также:
  1. III ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПОЛОВОМ СОЗРЕВАНИИ
  2. III. Преобразования при половом созревании
  3. NB! Моносахариды могут связываться друг с другом
  4. NB! Некоторые липиды могут гидролизоваться щелочью
  5. VI. Последствия, к которым могут привести семь прозвучавших на вольном воздухе проклятий
  6. А как же небогатые люди, которые не могут позволить себе твои книги?
  7. Алгоритм аналого-цифрового преобразования радиолокационного сигнала

(пример - вращающиеся плоскости).

 
 

Пусть теперь матрица А - симметрическая. С ней можно связать квадратную форму

где x - p-мерный вектор-столбец.

 
 

Симметрическая матрица А называется положительно определенной, если для любых x¹0

Симметрическая матрица называется неотрицательно определенной,

если "Р:

 
 

1.

 
 

Все собственные числа симметрической матрицы А - вещественные и соответствующие

им вектора могут быть взяты вещественными:

 

2. Все собственные числа положительно определенной матрицы А положительны.

 

Все собственные числа неотрицательно определенной матрицы А неотрицательны.

 
 

 
 

Следовательно, характеристические числа положительно определенной матрицы

 
 

неотрицательно определенной-

и каждому из них соответствует собственный вектор.

 

1.

 
 

Собственные векторы bi и bj, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

 

В случае кратных корней размерность пространства решений уравнения (2.10) при l=l(0),

где l(0) -корень уравнения (2.11) кратности 2, равно 2.

Все сформулированные и доказанные выше предложения относительно собственных векторов и собственных чисел симметрической матрицы (симметрическое преобразование евклидового пространства) можно получить как следствие двух утверждений.

Утверждение 1: Линейное преобразование j евклидового пространства En тогда и только тогда будет симметрическим, если в нём существует ортонормированная база, составленная из собственных векторов этого преобразования.

Утверждение 2: Симметрическое линейное преобразование Еn в любом ортонормированном

базисе задается симметрической матрицей. И обратно, если линейное преобразование в некотором базисе задается симметрической матрицей, то оно является симметрическим.

 

Вернемся к рассмотрению уравнения (2.11).

Матрица ковариаций å, как и всякая матрица ковариаций, является неотрицательно определенной.

 
 

Действительно, поскольку согласно договоренности

 

 
 

для любого вектора

 

Следовательно, собственные значения (характеристические числа) матрицы å

неотрицательны. Расположим их в порядке убывания

 


(2.12)

 
 

Умножив (2.10) слева на l1 и учитывая, что

 
 

Получим

 
 

или после преобразований

 
 

Отсюда и из (2.6) следует

В соответствии с определением 1 и соотношением (2.5) для обеспечения максимальной

величины дисперсии нужно выбрать из собственных значений (2.12) матрицы å наибольшее

 
 


Подставляя l1 в систему (2.10) и решая ее относительно

 
 

мы определим компоненты вектора

Таким образом первая главная компонента получается как линейная комбинация , где - собственный вектор матрицы ковариаций å, соответствующий наибольшему собственному значению этой матрицы l1.

В соответствии с определением 2, k-я (k³2) главная компонента определяется как норм.

линейная комбинация исходных признаков, имеющая max дисперсию и некоррелированная с предшествующей главной компонентой , где - как можно показать по аналогии с предыдущим собственный вектор матрицы å, соответствующий k-му по порядку убывания собственному значению (см. также замечание о кратности корней). При этом .

Таким образом,

(2.13)


Таким образом, вектор главных компонент , где

 
 

получается по указанному выше алгоритму в виде произведения ,где строки

матрицы (размерности (р1´р)) ортонормированные р*-мерные вектора, являющиеся собственными векторами матрицы å, соответствующими собственным значениям этой матрицы, расположенным в порядке убывания.

При р1=р матрица (размерности р´р) будет ортогональной матрицей и Пу.


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 99 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Методы многомерных классификаций. | Функционалы качества разбиения при неизвестном числе классов | Функция потерь и вероятность неправильной классификации | Построение оптимальных процедур классификации | Методы снижения размерности | Метод главных компонент | Сущность модели факторного анализа | Общий вид линейной модели. Ее связь с главными компонентами |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Вычисление главных компонент.| Основные числовые характеристики главных компонент и критерий информативности метода главных компонент

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)