Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Условный экстремум при смешанных ограничениях

Читайте также:
  1. ГЛАВА III. О СМЕШАННЫХ ДЕРЖАВАХ.
  2. Достаточные условия локальных экстремумов функции.
  3. Достаточные условия существования экстремума
  4. Достаточные условия экстремума функции
  5. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА ЭКСТРЕМУМ И ПОИСК КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ.
  6. Исследовать на экстремум функцию: .
  7. Локальный условный экстремум функции нескольких переменных.

В этом случае утверждения, 2.1.1 - 2.1.4 остаются без изменения.

Таким образом, для того, чтобы исследовать функцию на условный экстремум, достаточно:

1. Составить обобщённую функцию Лагранжа:

L (X, l 0, L)= l 0 f (X)+

2. Составить систему:

(2.4.1)

3. Решить систему (2.4.1) для двух случаев:

а) l 0=0;

б) l 0=1.

В результате находятся условно-стационарные точки X *.

4. Для условно стационарных точек X *, полученных в пункте 3, проверить достаточные условия экстремума. Для этого:

1) определить число l ограничений-равенств и активных ограничений-неравенств в точке X *;

2) если l = n и >0 для всех i Î Ia, то в точке X * - локальный минимум. Если l = n и <0 для всех i Î Ia, то в точке X * - локальный максимум. Если l < n или соответствующие множители Лагранжа не удовлетворяют достаточным условиям первого порядка, то проверить достаточные условия второго порядка. Для этого:

1) записать выражение для второго дифференциала классической функции Лагранжа в точке (X *, L *):

d 2 L (X *, L *)= ;

2) записать условия, накладываемые на первые дифференциалы активных ограничений:

(2.4.2)

3) исследовать знак второго дифференциала функции Лагранжа для ненулевых dx, удовлетворяемых системе (1.4.2). Если d 2 L (X *, L *)>0, то в точке X * - условный локальный минимум. Если d 2 L (X *, L *)<0, то в точке X * - условный локальный максимум.

Если достаточные условия первого и второго порядка не выполняются, то проверяется выполнение необходимых условий второго порядка. Если они не выполняются, то в точке X * нет условного экстремума, а если выполняются, то требуется дополнительное исследование.

5. Вычислить значения функции в точках условного экстремума.

Пример III. Исследовать на условный экстремум функцию:

f (X)= ®extr

Решение. Имеем

j 1(Х)= = , j 2(Х)=

1. Составим функцию Лагранжа:

L (X, l 0, L)= l 0()+ l 1()+ l 2().

2. Составим систему (2.4.1). Имеем

=2 l 0 x 1+2 l 1 x 1+2 l 2 x 1=2 x 1(l 0+ l 1+ l 2),

=2 l 0(x 2-4)+2 l 1(x 2+4)+2 l 2 x 2.

Поэтому

3. Решим систему для двух случаев:

a) l 0=0. Система принимает вид

а.1) x 1=0. Тогда из третьего уравнения имеем x 2=0, а второе и последнее дают l 1= l 2=0, то есть l 0= l 1= l 2=0, что невозможно.

а.2) x 1≠0. Тогда l 1+ l 2=0 и l 1=- l 2≠0 и второе уравнение даёт l 1(x 2+4- x 2)=0, то есть 4 l 1=0, что невозможно.

Таким образом, условно-стационарных точек при l 0=0 нет.

б) l 0=1. Система принимает вид

б.1) x 1=0. Тогда из третьего уравнения имеем x 2=0, подставляя которое во второе, получаем -4+4 l 1=0, то есть l 1=1. Последнее уравнение системы даёт l 2=0. Таким образом, ()=(0; 0; 1; 0) - условно-стационарная точка.

б.2) x 1≠0. Тогда l 1=-1- l 2. Предположим, l 2≠0. Тогда имеет место система

откуда . Решаем последнее уравнение: х 2= . Подставляя во второе, получаем х 1. Подставляя найденное значение х 2 во второе уравнение исходной системы, получаем 7 l 1- l 2=9 и приходим к системе

решением которой является l 1=1, l 2=-2. Таким образом,

()=(; ; 1 -2), ()=(- ; ; 1 -2) -

ещё две условно-стационарные точки.

Если предположить, что l 2=0, то l 1=-1. Тогда второе уравнение системы даёт х 2-4-(х 2+4)=0, то есть -8=0 - противоречие.

Таким образом, условно-стационарных точек три:

A =()=(0; 0; 1; 0), B =()=(; ; 1 -2),

C =()=(- ; ; 1 -2),

при этом в точке A имеем l 2=0, то есть l 2³0 и l 2£0, в точке выполняются необходимые условия как для минимума, так и для максимума. В точках B и C имеем l 2=-2£0, и в этих точках выполняются необходимые условия для максимума.

4. Проверим достаточные условия экстремума в найденных точках.

Имеем

= =2(l 0+ l 1+ l 2), = =0.

Поэтому d 2 L =2(l 0+ l 1+ l 2)(d + d ).

а) В точке X *=(0, 0) ограничение не является активным, так как j (X *)=-4<0. Поэтому достаточные условия первого порядка не выполняются. Проверим достаточные условия второго порядка. В точке А имеем l 0= l 1=1, l 2=0. Поэтому d 2 L (А)=4(d + d ). Имеем dj 1=2 x 1 dx 1+2(x 2+4) dx 2, dj 1(А)=8 dx 2=0 Û dx 2=0. Поэтому d 2 L (А)=4 d >0 при dx 1≠0 (так как ограничение j 2(Х)£0 пассивно, то Ja =Æ и условие dj 2(Х)=0 не рассматривается). Следовательно, в точке A - условный локальный минимум.

б) В точках B и C ограничение-неравенство активно, так как j 2(Х *)=0. Поэтому суммарное число активных ограничений-неравенств в точках и и ограничений равенств равно числу переменных. Так как l 2=-2, то в точках выполняются достаточные условия максимума первого порядка и оно является точкой локального максимума.

5. Вычислим значение функции в точках условного экстремума:

f min(X)= f ()= f (0, 0)=16,

f max(X)= f ()= f ()= =19

Ответ: =(0, 0) - точка регулярного условного локального минимума, f min(X)=16; = и = - точки регулярного условного локального максимума, f max(X)=19.


Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 243 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Условный экстремум при ограничениях типа неравенств| Общие принципы методов поиска условного экстремума

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)