Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Тригонометрические ряды Фурье

Читайте также:
  1. Гармонический анализ периодических процессов. Теорема Фурье. Гармонический спектр сигнала.
  2. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на отрезке
  3. Разложение периодических функций в ряд Фурье
  4. Ряды Фурье
  5. Ряды Фурье.
  6. Тригонометрические ряды Фурье

 

Если функция кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную в интервале , причем все точки разрыва регулярны (т. е. ), то функция на этом интервале может быть представлена рядом Фурье

,

 

где ; .

 

В частности:

а) если функция четная, то имеем

 

,

 

где ;

 

б) если функция нечетная, то получаем

 

,

 

где .

 

Функцию , определенную в интервале и обладающую в нем приведенными выше свойствами четности, можно в этом интервале разложить в ряд Фурье только по синусам или только по косинусам.

 

Дифференцирование рядов Фурье. Если функция непрерывна, а её производная кусочно-непрерывна на отрезке и , то ряд Фурье для получается из ряда Фурье для почленным дифференцированием.

 

Интегрирование рядов Фурье. Ряд Фурье, даже расходящийся, интегрируемой по Риману в интервале функции можно интегрировать почленно в этом интервале.

Разложение в ряд Фурье функций, зависящих от и , удается иногда получить с помощью формул Эйлера:

 

; ; .

 

Для этого следует подставить в формулу, задающую рассматриваемую функцию, выражения для косинуса и синуса и получившуюся функцию от разложить в ряд по степеням , а затем вернуться к переменной с помощью формулы

 

.

 

В результате получится искомое разложение заданной функции в ряд Фурье.

 

Пример 3.1. Разложить в ряд Фурье функцию

 

.

 

Решение. Воспользуемся формулами Эйлера. Подставим выражения для синуса и косинуса в функцию и представим получившуюся рациональную функцию параметра в виде суммы двух дробей следующим образом:

 

.

 

Поскольку , , то дроби и можно разложить в степенные ряды. (Эти дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий.) В результате получим ряд Фурье функции в комплексной форме:

 

.

 

Заметив, что , получим .

Пример 3.2. Разложить в ряд Фурье неограниченную периодическую функцию .

Решение. Применим для разложения метод, основанный на применении формул Эйлера. Положив , (следовательно, ), будем иметь

 

.

 

Заметив, что , и , получим, разложив в степенной ряд логарифм ,

 

.

 

В результате будем иметь

 

.

 

Поскольку в левой части этого равенства стоит действительное число, мнимая часть его правой части равна нулю:

 

.

 

Следовательно,

 

, .

 

Попутно получилось разложение в ряд Фурье функции :

 

.

 

Пример 3.3. Найти сумму ряда .

Решение. Ряд сходится при . Рассмотрим ряд , сходящийся при любом . Обозначим и . Тогда

 

, .

 

Преобразуем выражение, стоящее под знаком логарифма:

 

.

 

Таким образом,

 

.

 

Откуда сразу находится сумма ряда:

 

, .

 

Заодно мы доказали, что

 

, .

 

 

Разложить в ряд Фурье функцию , указать промежутки, в которых сумма ряда Фурье равна функции , и найти сумму ряда в указанной точке :

3.1. .  
3.2. .  
3.3. .  
3.4. .  

 

3.5. Разложить в ряд Фурье функцию , и, пользуясь полученным разложением, найти сумму ряда Лейбница .

 

Разложить в ряд Фурье функцию на указанном промежутке, считая длину промежутка периодом:

 

3.6. на интервале .  
3.7. на интервале .  
3.8. на интервале .  
3.9. на отрезке .  

3.10. , на отрезке . Доказать с помощью получившегося разложения, что .

3.11. Разложить в ряд Фурье функцию

 

 

периодически продолженную на всю числовую ось с периодом 3. Нарисовать график суммы ряда.

 

Разложить в ряд Фурье периодическую функцию:

3.12. . 3.13. .
3.14. . 3.15. .
3.16. .  

 

3.17. Разложить в ряд Фурье на интервале по синусам функцию:

 

 

3.18. Разложить функцию в ряд Фурье:

а) на отрезке по косинусам;

б) на интервале по синусам;

в) на интервале по синусам и косинусам.

Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:

 

, , .

 

3.19. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

 

 

Пользуясь формулами Эйлера, разложить в ряд Фурье функцию:

3.20. .  
3.21. .  
3.22. .  

3.23. Исходя из разложения

 

,

 

почленным интегрированием получить разложение в ряд Фурье на интервале функций и .

 

Разложить в ряд Фурье неограниченные периодические функции:

 

3.24. . 3.25. .
3.26. .  

 

Найти сумму ряда:

3.27. . 3.28. .
3.29. . 3.30. .

 

 

Ответы: 3.1. ; 0. 3.2. , ; . 3.3. , ; . 3.4. , ; . 3.5. ; . 3.6. . 3.7. . 3.8. . 3.9. . 3.10. . 3.11. .

3.12. . 3.13. . 3.14. . 3.15. . 3.16. . 3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. , .

3.21. . 3.22. . 3.23. ; . 3.24. , , . 3.25. . 3.26. ,

, . 3.27. . 3.28. .

3.29. . 3.30. .

 


Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 2361 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Величина называется суммой ряда, а число называется остатком ряда(тоже ряд). | Ряды с неотрицательными членами | Свойства абсолютно сходящихся рядов таковы. | Признаки сходимости функциональных рядов | Степенные ряды | Pharmacy is the place where combination, analysis & standardization medicine. | В аптеці №3 |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ряды Тейлора и Маклорена| Моя майбутня професія – фармацевт №3

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.021 сек.)