Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Требования к результатам освоения содержания дисциплины

Читайте также:
  1. D4.1 Ограничение на три дисциплины
  2. D7.1 Цель дисциплины
  3. I. Теория дисциплины
  4. II. Требования к размещению дошкольных организаций
  5. III. Требования к конкурсным работам
  6. III. Требования к оборудованию и содержанию территорий дошкольных организаций
  7. III. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ

Рабочая программа дисциплины

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Лекторы

2.1. Д.ф.-м.н., профессор Ягола Анатолий Григорьевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: yagola@physics.msu.ru, телефон: +7(495) 939-48-59

2.2. Д.ф.-м.н., профессор Голубцов Петр Викторович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: golubtsov@physics.msu.ru, телефон: +7(495) 939-10-33

2.3. К.ф.-м.н., доцент Волков Владимир Тарасович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: volkov@phys.msu.ru, телефон: +7(495) 939-48-59

Аннотация дисциплины

Курс "Интегральные уравнения и вариационное исчисление" является обязательным общефакультетским курсом и читается в 4-м семестре. Данный курс подготовлен в рамках Приоритетных направлений развития МГУ "Система подготовки и воспроизводства кадров нового поколения".

Данный курс включает 34 часа лекций, а также 17 часов семинарских занятий, и разбит на 3 части: интегральные уравнения, вариационное исчисление и введение в методы решения некорректно поставленных задач.

В первой части курса рассматриваются линейные интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра. 3 лекции носят вводный характер и содержат изложение ряда вопросов функционального анализа, необходимых для понимания последующего лекционного материала. Затем (7 лекций) подробно рассмотрены интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра и некоторые связанные с ними вопросы, например, задача Штурма-Лиувилля.

Во второй части курса (5 лекций) излагаются основы вариационного исчисления: понятие функционала, необходимые и достаточные условия экстремума, условный экстремум, задача с повижной границей.

Заключительная часть (2 лекции) посвящена изучению основ методов регуляризации некорректно поставленных задач на примере интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Цели освоения дисциплины

Изучение основных свойств линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра и некоторых, связанных с ними вопросов, таких как задача Штурма-Лиувилля, основы вариационного исчисления, основы методов регуляризации на примере интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода.

Задачи дисциплины

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать свойства интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 2-го рода и методы вариационного исчисления; уметь применять знания свойств интегральных уравнений и вариационных методов в других областях математики и в теоретической физике.

Компетенции

Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.

ОНК-1, ОНК-6, ИК-3, ПК-1

Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.

ПК-2; ОНК-5; ОНК-6

Требования к результатам освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать основные понятия функционального анализа, свойства интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 2-го рода, свойства задачи Штурма-Лиувилля, основные методы вариационного исчисления, метод регуляризации для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода;

уметь решать интегральные уравнения и задачи вариационного исчисления, применять знания свойств интегральных уравнений в других областях математики, таких как, например, дифференциальные уравнения, методы математической физики;

владеть основными методами исследования интегральных уравнений, вариационных задач, некорректно поставленных задач;

иметь опыт деятельности по решению интегральных уравнений, задач Штурма-Лиувилля и вариационных задач.

 

Содержание и структура дисциплины

Вид работы Семестр Всего
     
Общая трудоёмкость, акад. часов        
Аудиторная работа:        
Лекции, акад. часов        
Семинары, акад. часов        
Лабораторные работы, акад. часов -     -
Самостоятельная работа, акад. часов        
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен) экзамен     экзамен

 


N раз- дела Наименование раздела Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий Форма текущего контроля
Аудиторная работа Самостоятельная работа
Лекции Семинары Лабораторные работы
1.   Введение Лекция №1 (2 часа). Классификация интегральных уравнений; физические задачи, связанные с решением интегральных уравнений. Линейные, нормированные и евклидовы пространства. Пространства функций как примеры бесконечномерных нормированных пространств. Сходимость в нормированных пространствах. Понятие ограниченной и компактной последовательностей. Фундаментальные последовательности и понятие полного пространства. Семинар №1 (2 часа) Понятие нормы и скалярного произведния. Пространства функций, вычисление норм и скалярных произведений элементов в различных функциональных пространствах.   3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. ДЗ, Оп, Об
Лекция №2 (2 часа). Основы теории линейных операторов в нормированных пространствах. Понятие ограниченного, вполне непрерывного, самосопряженного операторов, норма оператора. Оператор Фредгольма как пример линейного ограниченного вполне непрерывного самосопряженного оператора в бесконечномерном евклидовом пространстве.   3 часа Работа с лекционным материалом.   Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №3 (2 часа). Теорема о существовании собственного значения вполне непрерывного самосопряженного оператора. Постороение последовательности собственных векторов.   3 часа Работа с лекционным материалом.  
2.   Линейные интегральные уравнения Лекция №4 (2 часа). Однородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим ядром. Характеристические числа и собственые функции, их свойства. Теорема Гильберта-Шмидта.     3 часа Работа с лекционным материалом. ДЗ, КР, Оп, Об, Т  
Лекция №5 (2 часа). Неоднородное уравнение Фредгольма 2-го рода с симметрическим ядром. Теорема о разрешимости уравнения, структура решения. Различные представления решения, резольвента. Семинар №2 (1 час) Построение резольвенты неоднородного уравнения Фредгольма 2-го рода с симетрическим ядром.   3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №6 (2 часа). Уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденными ядрами. Эквивалентность интегрального уравнения и линейной алгебраической системы. Теоремы о разрешимости, методы построения решений. Семинар №3 (2 часа) Нахождение характеристических чисел и собственных функций однородного уравнения Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Решение неоднородных уравнений.   4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №7 (2 часа). Принцип сжимающих отображений, теоремы о неподвижной точке. Уравнения Фредгольма с малым λ. Теоремы о разрешимости, метод последовательных приближений, резольвента. Семинар №4 (1 час) Метод последовтельных приближений для решения уравнения Фредгольма с малым λ. Построение резольвенты.   3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №8 (2 часа). Уравнения Фредгольма 2-го рода с произвольным непрерывным ядром, сведение к уравнению с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.     3 часа Работа с лекционным материалом.
Лекция №9 (2 часа). Линейное уравнение Вольтерра. Теоремы о разрешимости, метод последовательных приближений, резольвента. Семинар №5 (1 час) Методы решения уравнения Вольтерра. Построение резольвенты.   4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №10 (2 часа). Задача Штурма-Лиувилля. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению с симметрическим ядром. Существование собственых значений и собственных функций, их свойства. Теорема Стеклова. Семинар №6 (2 часа) Нахождение собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с различными краевыми условиями.   4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
3.   Основы вариационного исчисления Лекция №11 (2 часа) Предмет вариационного исчисления. Понятие функционала, примеры. Сильная и слабая вариация. Понятие экстремума функционала, сильный и слабый экстремум. Основная лемма вариационного исчисления. Семинар №7 (2 часа) Вычисление вариации функционала. Уравнение Эйлера. Различные случаи интегрирования уравнения Эйлера.   3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. ДЗ, КР, Оп, Об, Т
Лекция №12 (2 часа) Задача с закрепленными концами: постановка задачи, теорема о необходимом условии экстремума. Уравнение Эйлера (вывод), экстремали функционала. Теорема о необходимом условии экстремума в случае зависимости функционала от нескольких функций.   3 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №13 (2 часа). Задача с закрепленными концами: достаточные условия экстремума. Функция Вейерштрасса, теоремы о достаточных условиях сильного и слабого экстремума в форме Вейерштрасса и Лежандра. Семинар №8 (2 часа) Поле экстремалей. Сильный и слабый экстремум. Проверка достаточных условий экстремума в форме Вейерштрасса и Лежандра.   4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №14 (2 часа). Условный экстремум, задача Лагранжа и изопериметрическая задача. Постановки задач, теоремы о необходимых условиях экстремума. Физические примеры. Геодезические линии поверхностей. Семинар №9 (2 часа) Решение различных задач на условный экстремум.   4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
Лекция №15 (2 часа). Вариационные задачи с подвижной границей и со свободным концом. Постановки задач, теоремы о необходимых условиях экстремума. Физические примеры. Семинар №10 (2 часа) Решение различных задач с подвижной границей и со свободным концом.   4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
4.   Понятие о методах регуляризации решения некорректно поставленных задач Лекция №16 (2 часа). Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах, физические примеры. Уравнение Фредгольма 2-го рода как пример корректно поставленной задачи. Уравнение Фредгольма 1-го рода как пример некорректно поставленной задачи.     3 часа Работа с лекционным материалом. Оп, Об
Лекция №17 (2 часа). Понятие регуляризирующего алгоритма. Метод регуляризаци А.Н.Тихонова, регуляризирующий функционал. Теорема А.Н.Тихонова.     3 часа Работа с лекционным материалом.

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 71 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
CHAPTER XVIII| Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)