Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Ознаки збіжності невласних інтегралів. II.

Читайте также:
  1. Види трудових відносин та їх правове регулювання. Наймана праця та її ознаки.
  2. Економічна суть податків, їх ознаки, функції та класифікація
  3. Зміст економіки середньовіччя. Періодизація, характерні ознаки та типологізація феодальної системи господарства.
  4. Зовнішні ознаки вивітрювання порід та їх опис.
  5. І. Морфологічні ознаки вимені
  6. Комукативні ознаки культури мовлення
  7. Міжгрупова ( ) – характеризує систематичну варіацію результатної ознаки під впливом факторної (групувальної) ознаки

Теорема 4 (критерій Коші). Для збіжності невласного інтеграла

(11.1) необхідно і достатньо, щоб для будь якого існувало таке число , щоб при виконувалося нерівність:

. (11.2)

Доведення. Вводячи функцію , умову теореми можна переписати так:

.

А це є критерій Коші існування скінченної границі , тобто інтеграл (11.1) збігається тоді і тільки тоді, коли виконано нерівність (11.2).

Аналогічні твердження справедливі для невласних інтегралів II роду.

Теорема 5. Для збіжності невласного інтеграла

, (11.3) де – особлива точка, необхідно і достатньо, щоб для будь якого існувало , що з нерівностей , випливала нерівність

.

З теорем 4 та 5 випливає наступна ознака збіжності інтегралів (11.1), (11.3).

Теорема 6. Якщо збігається інтеграл , то збігається інтеграл (11.1).

Доведення. З умови теореми на підставі теореми 4 маємо: , що , якщо тільки , . Але

, отже для тих самих : , звідки внаслідок теореми 4 випливає збіжність інтеграла (11.1).

Теорема 7. Якщо збігається інтеграл , де точка особлива, то збігається інтеграл (11.3).

Зауваження. Обернені твердження до теорем 6, 7 несправедливі, а саме із збіжності інтегралів (11.1), (11.3) не випливає відповідно збіжність інтегралів , .

Означення. Якщо інтеграл збігається, в той час, як інтеграл розбігається, то інтеграл називається умовно збіжним. Якщо разом з інтегралом збігається і інтеграл , то інтеграл називається абсолютно збіжним.

Аналогічні означення вводяться і для інтегралів II роду. Іншими словами, невласний інтеграл (I чи II роду) від функції називається абсолютно збіжним, якщо збіжний інтеграл від функції .

Приклади.

1. Дослідити на збіжність інтеграл

. (11.4)

1) Нехай ; тоді , і оскільки інтеграл збігаєть-

ся, то збіжним є й інтеграл (11.4).

2) Нехай . Покажемо, що інтеграл (11.4) розбігається. Для цього

скористаємось критерієм Коші, а саме покажемо, що існує таке, що такі, що

.

Нехай . Покладемо , , де натуральне . Тоді, оскільки при , : , то

.

Таким чином можемо взяти , і на підставі теореми 4 інтеграл розбіжний.

2. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл

.

1) Нехай . Тоді , і, оскільки інтеграл збіжний, то

за теоремою 2 збіжним є інтеграл , отже інтеграл збіжний абсолютно.

2) Нехай . Інтегруючи за частинами, отримаємо:

.

Оскільки , а інтеграл збіжний абсолютно, то є збіжним.

Розглянемо інтеграл при . Маємо: , а інтеграл при , як встановлено у попередньому прикладі, розбігається, отже розбігається й інтеграл , а це означає, що інтеграл при збігається умовно.

3) Нехай . Доведемо на підставі критерію Коші, що інтеграл розбі-

гається. Задамо і оберемо так, щоб . Покладемо: , . Для виконано , і, крім того, при і : . Отже маємо:

.

Таким чином, обираючи в критерії Коші , отримуємо на його підставі, що інтеграл розбігається.

Отже інтеграл збігається абсолютно при , збігається умовно при і розбігається при .

 

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 189 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. | Означення та умови існування визначеного інтеграла. | Властивості визначеного інтеграла. | Формула Ньютона–Лейбніца. | Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі. | Невласні інтеграли I роду. | Невласні інтеграли II роду. | Обчислення площ плоских фігур. | Обчислення довжин дуг кривих ліній. | Обчислення об’ємів тіл. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ознаки збіжності невласних інтегралів. I.| Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)