Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул

Читайте также:
  1. D8.22 Формула оценки топливной эффективности
  2. Figure 6. Ежедневная оценка числа сотрудников в зависимости от времени обработки запросов и количества инцидентов
  3. II этап. Анализ и оценка имущественного положения предприятия.
  4. II. Практическая часть.
  5. III этап. Анализ и оценка ликвидности и платёжеспособности предприятия.
  6. IV этап. Анализ и оценка финансовой устойчивости предприятия.
  7. IV. Оценка работ.

В полученные нами формулы оценки ошибки квадратурной формулы входят величины Mk, ограничивающие абсолютную величину производной порядка от подынтегральной функции ( для формул центральных прямоугольников и трапеций, для формулы Симпсона, и для формулы Уэддля). Если величина Mk неизвестна (а как правило, в достаточно сложных задачах не вычисление интегралов она неизвестна или получить её весьма нелегко), то пользоваться этими оценками для определения величины ошибки конкретного вычисления невозможно. Так что всё, что дают нам формулы оценки ошибки — это порядок квадратурных формул. Однако на этом основании можно получить следующее практическое правило, которое позволяет получить оценку ошибки конкретного вычисления, если квадратурную формулу применить два раза с разными шагами .

А именно, если используемая квадратурная формула имеет порядок точности ( — порядок формул центральных прямоугольников и трапеций, — формулы Симпсона, — формулы Уэддля), то соответствующая шагу погрешность имеет оценку , где — некоторая постоянная, не зависящая от . Таким образом, при малых , то есть при достаточно большом числе отрезков разбиения , будет

и

Следовательно, если — приближённое значение интеграла, точное значение которого равно , то

Отсюда получаем, что

и

(5)

Таким образом, проведя вычисления по данной квадратурной формуле с некоторым шагом , а затем удвоив число отрезков деления и проведя вычисления по той же формуле с шагом , мы получим приближённые значения Ih и I и сможем, применив формулу (5), вычислить текущую погрешность, то есть оценку отклонения истинного значения интеграла от последнего из вычисленных приближённых значений (полученного с шагом ).

На такой оценке текущей погрешности, как правило, основаны компьютерные программы, вычисляющие значение определённого интеграла с заданной точностью.

Пример. Вычислить интеграл по формуле Ньютона — Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал на 8 равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.

Решение. По формуле Ньютона — Лейбница

.

Делим интервал интегрирования [1;9] на 8 равных частей, находим длину одной части

,

точки деления xi, значения yi подынтегральной функции в этих точках:

и вычисляем интеграл по приближенным формулам.

1. По формуле прямоугольников:

(1)

(1а)

Абсолютная ошибка значений равна:

для (1) (по недостатку)

,

для (1а) (по избытку)

.

Относительная (процентная) ошибка:

для (1)

,

для (1а)

.

Погрешность формулы прямоугольников

,

где — наибольшее значение в интервале [a,b]:

, , .

2. По формуле трапеций:

Абсолютная ошибка этого результата составляет

,

а относительная

.

Погрешность формулы трапеции

,

где — наибольшее значение в интервале [a,b]:

, , .

3. По формуле Симпсона (n — число четное):

Абсолютная ошибка составляет всего 0,0345, а относительная

.

Погрешность формулы Симпсона

,

где — наибольшее значение в интервале [a,b]:

, , .


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 172 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Метод интегрирования по частям. | Интегрирование рациональных функций | Интегрирование тригонометрических функций | Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл | Вычисление площадей плоских фигур | Вычисление длины дуги | Вычисление объемов тел вращения | Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики | Использование понятия определенного интеграла в экономике | Квадратурная формула трапеций |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников| Задания для самостоятельного решения

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)