Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Способы вычисления потока

Читайте также:
  1. А380: ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ МАРШРУТОВ С БОЛЬШИМИ ПАССАЖИРОПОТОКАМИ
  2. Алгоритм вычисления коэффициента линейной корреляции
  3. Алгоритм вычисления коэффициента ранговой корреляции
  4. Алгоритм вычисления стандартизованных показателей обратным методом
  5. Алгоритм построения максимального потока
  6. АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ СПОСОБЫ ЗАКАТЫВАНИЯ КОРНЕРОВ
  7. Антивирусные программы: разновидности, принципы действия, способы настройки.

1°. Метод проектирования. Пусть поверхность (S) задана явным уравнением . В этом случае орт и . Для потока П получим формулу:

. (1.4)

Замечание 1. При проектировании на другие плоскости в подынтегральную функцию в формуле (1.4) следует добавить (множителем) проекцию на координатную ось, перпендикулярную плоскости проектирования.

В формуле (1.4) () – область на плоскости Oxy, в которую проектируется поверхность (S); произведение dxdy берется со знаком +, если угол между осью Oz и нормалью острый, и минус, если угол тупой. Символ означает, что в подынтегральную функцию вместо z надо подставить .

Замечание 2. Аналогичные формулы можно записать, если проектировать поверхность (S) на плоскости Oxz или Oyz.

Замечание 3. В случае неявного задания поверхности (S) вектор .

Пример 1. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника АВС с вершинами в точках , , (см. рис.2).

Рис.2.
Решение. Составим уравнение плоскости (поверхности (S)), проходящей через три заданные точки:

,

откуда . Поверхность (S) проектируется на плоскость Oxy в область , . Из условия следует, что нормаль образует острый угол с осью Oz. Имеем = ; произведение dxdy, берем со знаком “+”. Тогда по формуле (1.4)

.

Пример 2. Вычислить поля через замкнутую поверхность (S), ограниченную цилиндром и плоскостями , . Положительной стороной (по определению) считаем внешнюю сторону замкнутой поверхности.

Решение. Поверхность (S) кусочно гладкая. Разобъем ее на три части
(см. рис.3): . В связи с этим . 1)Для поверхности z= 0 и .

Рис.3.
Тогда . Проекция поверхности (S) на плоскость Oxy есть полукруг , . С учетом направления нормали для потока получим: . Переходя к полярным координатам, найдем .2) Для и . Поверхность проектируется на плоскость Oxy в область () (см.п.1), и поток

= .3)Для ,

и = . Однозначно поверхность проектируется на плоскость Oyz в область (), ограниченную линиями .

Исключая отсюда x, найдем проекцию этой линии на плоскость Oyz: . Для потока получим (напомним Замечание 1: следует учесть, что в этом случае

= . 4) Для потока получим .

2°. Метод проектирования на все три координатные плоскости. Пусть поверхность (S) однозначно проектируется на все три координатные плоскости: (Dxy): z = z (x, y); ; .Для потока П в этом случае имеем (вторая формула из (1.3)):

(1.5)

В (1.5) знаки проекций dydz, dxdz, dxdy выбираются в соответствии с сформулированным выше правилом.

Пример 3. Найти поток вектора через часть внешней стороны сферы , заключенной в первом октанте.

Решение. Имеем . С учетом того, что поверхность расположена в первом октанте, проекции dydz, dxdz, dxdy берем со знаком “+”. По формуле (1.5) . Из уравнения сферы имеем: ; ; и

. Очевидно, . Вычислим этот интеграл в полярной системе координат: = = = . Следовательно, .

3°. Применение формулы Гаусса-Остроградского. Приведем соответствующую теорему.

Теорема. Если в некоторой области проекции поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора через произвольную замкнутую кусочно гладкую поверхность (S), расположенную целиком в области , равен тройному интегралу от суммы по области (V), ограниченной поверхностью (S):

(1.6)

- формула Гаусса-Остроградского.

Замечание. Подынтегральная функция в тройном интеграле (1.6) называется дивергенцией (расходимостью) поля ; обозначается .

Пример 4. Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность , .

Решение. По формуле (1.6) . Для вычисления этого интеграла применим сферическую систему координат: , , ; . Таким образом,

.

Пример 5. Используя формулу Гаусса-Остроградского (1.6), вычислить поток поля через верхнюю сторону части поверхности , расположенную над плоскостью Oxy.

Решение. Для того, чтобы можно было применить формулу (1.6), замкнем снизу данную поверхность куском плоскости Oxy, который ограничен окружностью , z = 0. Вычислим подынтегральную функцию, стоящую под знаком тройного интеграла: . Отсюда следует, что поток П =0. По свойству аддитивности , откуда искомый поток . Уравнение поверхности и . Таким образом, - поток через поверхность z =0 численно равен площади круга ; искомый поток .


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 112 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Области на плоскости | Задачи для самостоятельного решения | Переход в двойном интеграле к полярным координатам | Задачи для самостоятельного решения | Задачи для самостоятельного решения | Задачи для самостоятельного решения | Независимость КИ-2 от пути интегрирования | Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1) | Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2) | Ротор (вихрь) векторного поля |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Векторных линий поля| Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)