Читайте также:
|
|
Пусть функции
(5)
имеют непрерывные частные производные и взаимно однозначно отображают область пространства
на область
пространства
. Если определитель Якóби отображения (5)
не обращается в нуль нигде в области , то переменные
определяют не только точку
, но и соответствующую ей точку
в пространстве
.
Тем самым числа можно рассматривать как новые координаты точки
, называемые, как и в плоском случае, её криволинейными координатами. Тогда справедлива следующая формула замены переменных в тройном интеграле:
(6)
.
Наиболее часто используемые системы криволинейных координат в пространстве – это цилиндрическая и сферическая системы координат. Они являются пространственными обобщениями плоской полярной системы координат.
При переходе к цилиндрической системе координат прямоугольные координаты заменяют на полярные. Положение точки в пространстве определяется тогда длиной
проекции её радиус-вектора на плоскость
, углом
между этой проекцией и осью
, отсчитываемым против часовой стрелки, и координатой
(см. рисунок). Формулы перехода имеют вид
, (7)
при этом ,
(или
),
.
Якобиан преобразования (7) , и формула замены переменных (6) принимает вид:
. (8)
Цилиндрические координаты удобны при описании круглых цилиндрических областей. Заметим, что при переходе к трёхкратному интегралу за внешнюю переменную, как и в плоском случае, практически всегда берётся угол .
В сферической системе координат пространственное положение точки определяется длиной её радиус-вектора, углом
между проекцией радиус-вектора на плоскость
и осью
, и углом
между радиус-вектором и осью
(см. рисунок). Углы
и
отсчитываются от осей
и
соответственно. Формулы перехода имеют вид
, (9)
при этом ,
(или
),
.
Якобиан преобразования (9) . Формула перехода к сферическим координатам в тройном интеграле имеет вид
(10)
.
Формулы (9) – (10) обычно применяются, когда область интегрирования представляет собой шар или некоторую его часть. При переходе к трёхкратному интегралу за внешнюю переменную, как правило, берётся один из углов
или
.
Пример 2.
Перейдём в интеграле примера 1 к сферическим координатам.
Уравнение сферы, ограничивающей шар , в сферических координатах имеет очень простой вид
. Шар
описывается системой неравенств
. По формуле (10)
.
Обратим внимание, что в полученном трёхкратном интеграле все пределы интегрирования постоянные – сравните с примером 1.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 103 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Вычисление тройных интегралов | | | Интегрирование простейших иррациональностей |