Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

II. Интегралы вида

Читайте также:
  1. V. Интегралы вида
  2. Интегралы вида , ,,.
  3. Кратные интегралы в криволинейных координатах
  4. Криволинейные интегралы
  5. Несобственные интегралы 2-го рода
  6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

.

(Во всем дальнейшем – показатель степени синуса, – показатель степени косинуса).

Интегралы этого вида находят с помощью различных тригонометрических формул, применение которых зависит от показателей степеней . Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи

1) Если хотя бы одно из чисел положительно и нечетно, то

• от нечетной степени отделяют множитель ,

• оставшийся множитель в четной степени преобразуют по формуле

,

• применяют подстановку .

2) Если оба показателя положительны и четны (или один из них – нуль), то показатели степени уменьшают с помощью формул:

.

3) Если целые отрицательные числа, то интеграл берется непосредственно, если в числителе единицу заменить , где – целая часть числа .

4) Если , то подынтегральную функцию

• записывают (или она уже записана) в виде дроби,

• в знаменателе выделяют множитель (или ).

• Выражение заменяют ,

• применяют подстановку .

Задача V.II.1. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

1) ▲

. ▼

Замечание. Задачу можно решить, не вводя новую переменную (см. задачу V.I.1)). В дальнейшем поступаем именно так.

2) ▲

. ▼

3) ▲

. ▼

4) ▲

. ▼

Задача V.II.2. Найти интегралы: 1) ; 2) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

. ▼

Задача V.II.3. Найти интеграл .

. ▼

Задача V.II.4. Найти интегралы: 1) ; 2) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

. ▼

 

 

III. Интегралы вида

,

где – целое положительное число.

1) К интегралу следует применить подстановку .

Получим интеграл .

2) К интегралу удобно применить подстановку .

Получим интеграл .

Выполняя деление, придем к выражению, которое непосредственно интегрируется.

Задача V.III.1. Найти интегралы: 1) ; 2) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

 
 
 
 
 

. ▼

Замечание. При нахождении интегралов применяется формула

,

с помощью которой последовательно понижается степень тангенса или котангенса.

Задача V.III.1. Найти интегралы: 1) ; 2) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

.

IV. Интегралы вида

,

где – вещественные числа.

Из тригонометрии известно, что произведения тригонометрических функций, находящихся под знаком этих интегралов, преобразуются в суммы по следующим формулам:

;

;

.

Заменив в рассматрива6емых интегралах подынтегральные функции по этим формулам, легко выполним интегрирование.

Задача V.IV.1. Найти интегралы: 1) ; 2) ; 3) ;

4) .

1) ▲

. ▼

2) ▲

. ▼

3) ▲

. ▼

4) ▲

. ▼

 


Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 140 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ | Основные свойства неопределенного интеграла | II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ | Краткие сведения о рациональных функциях | Некоторые корни знаменателя кратные | VI. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ | Знания и умения, которыми должен владеть студент |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Интегрирование простейших дробей| V. Интегралы вида

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)