Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основна теорема теорії похибок

Читайте также:
  1. I. 4.1. Первая теорема двойственности.
  2. I. Основная идея
  3. II. Основна частина уроку
  4. II. Основна частина уроку
  5. II. Основна частина уроку
  6. II. Основна частина уроку
  7. II. Основна частина уроку

У геодезичній практиці переважно використовуються не окремі безпосередньо зміряні величини, а їх функції, тобто непрямі вимірювання. Так, наприклад, нахил лінії визначають як відношення безпосередньо виміряного перевищення і довжини лінії. Довжина лінії, недоступної для безпосереднього вимірювання, обчислюється із розв’язання трикутника, у якого безпосередньо виміряні базисна сторона і горизонтальні кути. Площу земельної ділянки прямокутної форми обчислюють як добуток безпосередньо виміряної довжини і ширини ділянки. Перелік подібних прикладів можна продовжувати. Звідси виникає завдання оцінювання точності функції виміряних величин за відомими стандартами σ або средньоквадратичними похибками m безпосередньо виміряних аргументів. Для розв’язання цього завдання доведена теорема.

Теорема 4.1. Якщо певна безперервна функція, що диференціюється за всіма аргументами

(4.1)

аргументи якої x1, x2,…, xt – незалежні результати безпосередніх вимірів певних величин X1, X2,…, Xt, виконаних в умовах, що характеризуються стандартами σ1, σ2,…, σt, то стандарт цієї функції буде дорівнювати

де – частинні похідні функції (4.1) за змінними x1, x2,…, xt,

Доказ. З курсу математичного аналізу відомо, що повний диференціал функції (4.1) дорівнює

Припустимо, що величини x1, x2,…, xt виміряні n разів. При цьому результати вимірів містять випадкові похибки, які позначимо:

Наочно|наглядний| в графічній формі величини вимірів|вимірів| і їх похибки, ілюструються рис. 4.1.

n-я серія вимірювань
2-я серія вимірювань
1-я серія вимірювань

Рис. 4.1 – Графічна інтерпретація величин вимірів і їх похибок

Вважаючи, що похибки Δі є приростами величин хі (малими величинами), то на підставі запису повного диференціала (4.3) можна записати систему рівнянь у частинних похідних, де кожне з рівнянь характеризує зміну похибок у серії вимірів величин x1, x2,…, xt

 

… (4.4)

Відзначимо, що кожен елемент , ,…, , системи рівнянь має константу . Для того, щоб точно оцінити функції виміряних величин y = f (x1, x2,…, xt) з використанням стандарту σ або середньоквадратичної похибки m (див. формулу 2.14 і 3.6) необхідно здійснити наступні перетворення з системою рівнянь (4.4). Звести у квадрат праві та ліві частини кожного з рівнянь. Отримаємо

(4.5)

Тепер кожне з рівнянь є сумою квадратів. Для того, щоб привести праві частини рівнянь до вигляду відомих формул скороченого множення многочленів додамо до кожного рівняння суми добутків, що складаються з двох пар у кожному многочлені. Отримаємо

 

 

… (4.6)

Підсумуємо змінні лівої і правої частини|частки| отриманих|одержувати| многочленів і запишемо їх в символах Гаусса К.Ф.

… (4.7)

Розділимо отримані суми на n і запишемо остаточний вираз, що враховує всі змінні (похибки Δi) системи рівнянь (4.4)

Припускаючи, що n → ∞, знайдемо межі лівої і правої частини отриманого виразу. На основі властивості незалежності (2.13) маємо наступне:

Враховуючи властивість розсіювання (2.14) для правої і лівої частини|частки| рівняння (4.8) справедливо записати

Спростимо вираз (4.8), відкинувши подвійні суми

,

оскільки вираз (4.9) їх перетворює на нуль, і, застосовуючи до його лівої частини граничне значення формули (4.10), а до правої частини – граничні значення формули (4.11) і добувши з них квадратний корінь, отримаємо вираз (4.2), що і потрібно було довести.


Дата добавления: 2015-10-29; просмотров: 190 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Метешкін К.О. | Мережева|мережна| модель технології навчання | Видатні науковці | Вимірювання|виміри| і їх класифікація | Похибки вимірів і їх класифікація | Властивості випадкових похибок | КІЛЬКІСНІ КРИТЕРІЇ ОЦІНЮВАННЯ ТОЧНОСТІ ВИМІРІВ | Апостеріорна оцінка точності функцій виміряних|виміряти| величин | Проста арифметична середина і її властивості | Формула розрахунку емпіричної середньої квадратичної| похибки |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Вимірів однієї величини| Застосування|вживання| основної теореми для розрахунку гранично

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.01 сек.)