Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

Читайте также:
  1. Абсолютная скорость точки в сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей
  2. Апоптоз является общебиологическим механизмом, ответственным за поддержание постоянства численности клеток, формообразование, выбраковку дефектных клеток в органах и тканях.
  3. все перечисленное верно
  4. Все перечисленное верно
  5. Г. Площадь гломерулярной базальной мембраны.
  6. Двоичное представление целочисленного аргумента arg1 сдвигается вправо на количество разрядов, равное значению целочисленного аргумента arg2.
  7. Деревня Зазу. Главная площадь.

.

У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений мы говорили, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ. То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Рассмотрим определенный интеграл

.

Подынтегральная функция

задает на плоскости кривую (её при желании можно начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

 

Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Это типовая формулировка задания. Важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. С техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение y = 0 задает ось OX):

Штриховать криволинейную трапецию не будем, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке [-2; 1] график функции y = x 2 + 2 расположен над осью OX, поэтому:

.

Ответ: .

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница

,

обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений. После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 2, x = 4 и осью OX.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

 

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью OX?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = e-x, x = 1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

 

 

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью OX, то её площадь можно найти по формуле:

.

В данном случае:

.

Ответ: .

 

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

 

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

 

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = 2 xx 2, y = - x.

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. При построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы y = 2 xx 2 и прямой y = - x. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

.

Значит, нижний предел интегрирования a = 0, верхний предел интегрирования b = 3. Часто выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

 

Повторимся, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматоматически».

 

А теперь рабочая формула:

Если на отрезке [ a; b ] некоторая непрерывная функция f (x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g (x), то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке [0; 3] парабола располагается выше прямой, а поэтому из 2 xx 2 необходимо вычесть – x.

Завершение решения может выглядеть так:

 

Искомая фигура ограничена параболой y = 2 xx 2 сверху и прямой y = - x снизу.

На отрезке [0; 3] 2 xx 2 ≥ - x. По соответствующей формуле:

.

Ответ: .

На самом деле, школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. пример №3) – частный случай формулы

.

Поскольку ось OX задается уравнением y = 0, а график функции g (x) расположен ниже оси OX, то

.

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 507 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Случай второй для биномиальных иноегралов | Последовательная замена переменной и интегрирование по частям | Метод сведения интеграла к самому себе | Интегрирование сложных дробей | Интеграл от неразложимого в знаменателе многочлена 2-ой степени в степени | Интегрирование сложных тригонометрических функций | Интеграл от корня из дроби | Определенный интеграл. Примеры решений | Замена переменной в определенном интеграле | Находим новые переделы интегрирования. |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Метод интегрирования по частям в определенном интеграле| Пример 5

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)