Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Свойства биномиальных коэффициентов

Читайте также:
  1. I. Общие свойства хрящевых тканей
  2. I. СВОЙСТВА АТМОСФЕРЫ.
  3. Аксиомы векторного пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости.
  4. Акцент на функциональные свойства и преимущества
  5. Базовые физические свойства горных пород
  6. В. В. Похлёбкин. Чай, его история, свойства и употребление
  7. ВЕЩЕСТВА С АНАБОЛИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ

Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:

к доказательству которых мы сейчас и переходим.

Докажем сначала равенство 1.

Это равенство отражает основное свойство треугольника Паскаля, заключающееся в том, что в каждой из строк треугольника Паскаля, начиная со строки с номером 2, между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.

Для доказательства равенства 1 воспользуемся формулой (2):

что и требовалось.

Теперь докажем равенства 2 и 3. С этой целью положим в формуле (1) переменную равной 1. Тогда получим формулу:

(3)

Если теперь в формулу (3) подставить значение , то мы получим равенство 2.

Если же в формулу (3) подставить значение , то мы получим равенство 3.

Перейдем к доказательству равенства 4.

Для этого перепишем формулу (3) в виде

(4)

Если теперь перемножить формулы (3) и (4), то мы получим формулу:

(5)

Если к левой части формулы (5) применить формулу бинома Ньютона, а затем, раскрыв в правой части скобки и приведя подобные члены, приравнять коэффициенты при в левой и в правой частях, то мы получим следующее равенство:

что и требовалось.

В заключении приведем доказательство формулы бинома Ньютона, то есть докажем равенство

Воспользуемся методом математической индукции.

  1. Проверим справедливость разложения для какого-нибудь n, допустим, для n = 3.



    Получили верное равенство.

 

  1. Предположим, что равенство верно для n-1, то есть

 

  1. Докажем, что



    основываясь на предположении второго пункта.

    Поехали!



    Раскрываем скобки



    Группируем слагаемые



    Так как и , то , так как и , то .

    Используя свойство сочетаний , получим



    Подставив эти равенства в выражение



    придем к



    А это и есть правая часть формулы бинома.

 


На этом метод математической индукции завершаем. Формула бинома Ньютона доказана.


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 355 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Формула бинома Ньютона| КНИГА 1. ЖИЗНЬ ПРОДОЛЖАЕТСЯ.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)