Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Свойства математического ожидания случайной величины

Читайте также:
  1. I. Общие свойства хрящевых тканей
  2. I. СВОЙСТВА АТМОСФЕРЫ.
  3. Аксиомы векторного пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Свойства линейной зависимости.
  4. Акцент на функциональные свойства и преимущества
  5. Аномалии величины
  6. Базовые физические свойства горных пород
  7. В. В. Похлёбкин. Чай, его история, свойства и употребление

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной, т.е. если с – постоянная, то MX = c.

Доказательство. Постоянную можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения с с постоянной вероятностью p = 1, тогда по формуле (1) имеем

MX = 1 c = c.

 

2. M (сX) = сMX.

Это свойство следует из теорем 1, 2.

 

3. Если определены MX и MY, то

M (X + Y) = MX + MY,

 

причем это свойство верно как для зависимых, так и для независимых случайных величин.

Доказательство. Докажем это свойство для конечных дискретных случайных величин. В соответствии с определением суммы случайных величин X + Y представляют случайную величину, которая принимает значения xi + yj с вероятностью

pij = P [(X = xi), (Y = yj)],

поэтому

M (X + Y) = .

 

Так как в первой двойной сумме xi не зависит от индекса j, по которому ведется суммирование по второй сумме, и аналогично, во второй двойной сумме yj не зависит от индекса i, то

M (X + Y)=

Мы воспользовались свойством, что (см. лекцию 8)

 

4. Если Х и Y независимы, то M (X Y) = MX MY

Доказательство.

M (X,Y) =

 

Пример 1. Найдем математическое ожидание нормальной случайной величины Х ~ N (a, s).

Таким образом, МХ = а.

Пример 2. Найдем математическое ожидание числа успехов в n испытаниях Бернулли.

Пусть Х имеет биномиальное распределение: .

Обозначим через Xi – случайную величину, равную числу успехов в i -м испытании, тогда

Р (Хi = 0) = q, Р (Хi = 1) = p, MXi = 0 q + 1 p = p, но

Таким образом, МХ = np.

ЛЕКЦИЯ 14. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (продолжение)

Пусть Z = (X,Y) – двумерная случайная величина. Рассмотрим, как найти условное среднее случайной величины Z при условии, что Y = y. Предположим, что Z – дискретная случайная величина, pij = P (X = xi, Y = yj), . На предыдущих лекциях (лекция 8) нами было показано, что

; ,

и что условные вероятности

;

удовлетворяют условиям

Поэтому при фиксированных уj и хi, вероятности P (X = xi/Y = yj), P (Y = yj / X = xi) можно рассматривать как условные распределения случайных величин Х (при условии, что Y = yj) и Y (при условии, что Х = хi). Тогда

 

Предположим, что Z – непрерывная двумерная случайная величина, pz(Х,Y) – плотность Z; px(x) – плотность X; p y(y) – плотность Y. Тогда условную плотность распределения Х при условии, что Y = y, определим

 

,

 

а условную плотность распределения Y при условии, что Х = х, определим

 

.

 

Найдем условное математическое ожидание Х при условии, что Y = y в соответствии с формулой (2) предыдущей лекции

M (X/y) = M (X / Y = y)=

Аналогично,

.

 

Функция fx (y) = М (Х / у) каждому у ставит в соответствие условное математическое ожидание Х при условии, что Y = y, т.е. она отражает зависимость от у условного среднего Х. Функция fx (y) = М (Х / у) называется функцией регрессии Х на У.

Аналогично, функция fу (х) = М (Y/x) называется функцией регрессии Y на Х.

Найдем математическое ожидание от математического ожидания М(X/у). Ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин.

 

Таким образом, M (M (X / y)) = MX и называется формулой полного математического ожидания.

 


Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 196 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Свойства непрерывной случайной величины | Равномерное распределение | Нормальное распределение | ЛЕКЦИЯ 8. ПОНЯТИЕ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ | ЛЕКЦИЯ 9. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ | Плотность вероятностей двумерной случайной величины | ЛЕКЦИЯ 10. СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ | ЛЕКЦИЯ 11. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН | ЛЕКЦИЯ 12. ТЕОРЕМА О ПЛОТНОСТИ СУММЫ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН | ЛЕКЦИЯ 13. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА, ФИШЕРА .ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Числовые характеристики случайных величин| Другие характеристики центра группирования случайной величины

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)