Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Влияние выбора вычислительного алгоритма на результаты вычислений

Читайте также:
  1. II. РЕЗУЛЬТАТЫ РЕВИЗИИ
  2. II. Результаты экспериментально-психологического исследования
  3. V2: Проблема выбора и кривая производственных возможностей.
  4. XIV. Влияние духовного мира
  5. А.Д. Вы видели результаты своей работы?
  6. Биологическая роль и токсикологическое влияние тяжелых металлов
  7. Благотворное влияние музыки

Пример 3.2.1. Пусть необходимо вычислить значение выражения

Избавившись от знаменателя, получаем

Полагая

а)

в)

и рассматривая эти приближения как разные методы вычисления, получим следующие результаты:

7/5 0,004096 0,008000  
17/12 0,005233 0,004630 - 0,1(6)

Очевидно, что столь значительное различие в результатах вызвано влиянием ошибки округления в задании .

Пример 3.2.2. Вычисление функции sin x с помощью ряда Тейлора.

Из курса математического анализа известно, что функция синус представляется своим рядом Тейлора

причем радиус сходимости ряда равен бесконечности — ряд сходится при любых значениях x.

Вычислим значения синуса при двух значениях аргумента. Пусть сначала . Будем учитывать лишь члены ряда, большие, чем 10- 4. Выполнив вычисления с четырьмя значащими цифрами, получим sin (0.5236) = 0.5000, что соответствует принятой точности.

Пусть теперь . Если вычисления по данной формуле проводить с восемью значащими цифрами, то получим абсурдный результат: sin (25,66) ≈ 24 (учитывались члены ряда, большие, чем 10-8).

Разумеется, выходом из создавшейся ситуации может быть использование формул приведения.

Пример 3.2.3. Вычисление функции ex с помощью ряда Тейлора.

Из курса математического анализа известно, что экспонента представляется своим рядом Тейлора

радиус сходимости этого ряда также равен бесконечности.

Приведем некоторые результаты расчетов ( — значения экспоненты, вычисленные на компьютере).

x ex exM
  2,718282 2,718282
 
-1 0,3678795 0,3678794
-10
-20 1,202966

Выходом из этой ситуации может быть использование для отрицательных аргументов экспоненты формулы

Естественно ожидать рост ошибок округления при вычислении рассматриваемой функции при больших значениях аргумента x. В этом случае можно использовать формулу ex = en + a = enea, где n = [x].

Пример 3.2.4. Рассмотрим следующий метод вычисления интеграла

Интегрирование по частям дает

откуда следует

.

Тогда

Очевидно, что отрицательные значения при n = 9,10 не имеют смысла. Дело в том, что ошибка, сделанная при округлении I0 до 6-ти значащих цифр сохранилась при вычислении I1, умножилась на 2! при вычислении I2, на 3! — при вычислении I3, и так далее, т.е. ошибка растет очень быстро, пропорционально n!.

Пример 3.2.5. Рассмотрим методический пример вычислений на модельном компьютере, обеспечивающем точность Проанализируем причину происхождения ошибки, например, при вычитании двух чисел, взятых с точностью до третьей цифры после десятичной точки u = 1,001, v = 1,002, разность которых составляет Δ = |vM - uM| = 0,001.

В памяти машины эти же числа представляются в виде

Тогда

Относительная ошибка при вычислении разности uM - vM будет равна

Очевидно, что т.е. все значащие цифры могут оказаться неверными.

Пример 3.2.6 Рассмотрим рекуррентное соотношение ui+1 = qui, , u0 = a, q > 0, ui > 0.

Пусть при выполнении реальных вычислений с конечной длиной мантиссы на i-м шаге возникла погрешность округления, и вычисления проводятся с возмущенным значением , тогда вместо ui+1 получим , т.е.

Следовательно, если |q| > 1, то в процессе вычислений погрешность, связанная с возникшей ошибкой округления, будет возрастать (алгоритм неустойчив). В случае погрешность не возрастает и численный алгоритм устойчив.


Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 207 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Представление целых чисел | Специфические особенности вычислительной математики | Погрешность метода |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Обусловленность задачи| Экономичность вычислительного метода

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)