Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Поняття умовного екстремуму

Читайте также:
  1. Бюджетування як інструмент оперативного контролінгу. Поняття про бюджет. Мета складання бюджетів
  2. Визначте зміст поняття «методи навчання». Обґрунтуйте роль цих методів в організації навчального процесу.
  3. Визначте спільне і відмінне між поняттями «мотив» і «стимул».
  4. Включення в поняття договору поставки вказівки про передання товарів "в обумовлений строк чи строки" дозволяє назвати ще ряд особливостей цього договору.
  5. Загальні поняття про бюджети та бюджетування
  6. Загальні поняття та термінологія
  7. Не є точкою екстремуму, якщо

Нехай на відкритій множині задано функції

і нехай Е — множина точок, координати яких задовольняють рівняння

(15)

Рівняння (15) називаються рівняннями зв’язку, або обмеженнями.

Означення. Точка називається точкою умов­ного максимуму функції відносно рівняння зв’язку (15), якщо існує такий окіл точки х 0, для всіх точок якого, що задовольняють рівняння зв’язку, виконується нерівність:

Якщо за цих умов виконується нерівність

то точку називають точкою умовного мінімуму функції при обмеженнях (15).

Функція z = xy відносно рівняння зв’язку у точці (0, 0) має умовний мінімум, бо z = (0, 0) = 0, а в точках (e, e), що задовольняють рівняння зв’язку, значення функції додатні.

Означення. Точки умовного максимуму і мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум називають іноді відносним екстремумом.

Геометрична інтерпретація (рис. 1.28).

 

Рис. 1.28

1.3.6. Прямий метод знаходження
точок умовного екстремуму
(Метод виключення)

Якщо рівняння зв’язку

, , (16)

можна розв’язати відносно m змінних, наприклад, відносно змінних :

……………………

,

 

то дослідження функції на умовний екстремум при обмеженнях (16) зводиться до дослідження на звичайний (безумовний) екстремум функції змінних :

.

Знайти умовний екстремум функції відносно рівнянь зв’язку:

,

●Розв’яжемо рівняння зв’язку відносно змінних x i y:

,

Підставимо знайдені значення x i y у вираз для u та зведемо задачу до дослідження на безумовний екстремум функції

, , якщо ;

тому — точка максимуму функції.

Отже, задана функція у точці має умовний максимум, що дорівнює

1.3.7. Метод Лагранжа знаходження точок
умовного екстремуму

Нехай функції , , , неперервно диференційовні в околі точки і ранг матриці Якобі

(17)

у цій точці дорівнює m.

Означення. Функцію називають функцією Лагранжа, параметри множниками Лагранжа.

Теорема 1.23. (Необхідна умова існування умовного екстремуму). Для того щоб точка була точкою умовного екстремуму функції при рівняннях зв’язку , необхідно, щоб її координати при деяких значеннях задовольняли систему рівнянь:

Умови (18), (19) означають, що точка є стаціонарною точкою функції Лагранжа і її координати задовольняють рівняння зв’язку.

Доведення. Запишемо рівності виду (18)

, (20)

де, як і раніше, означають диференціали неявних функцій; похідні обчислені в точці

Візьмемо значення множників так, щоб перетворювалися на нуль коефіцієнти при залежних диференціалах :

(21)

.

Це зробити можна, оскільки визначник системи лінійних рівнянь (20), з яких визначаються , відмінний від нуля. При вибраних значеннях множників (20) набере вигляду

(22)

Тут ми знову маємо лише диференціали незалежних змінних, тому коефіцієнти при них мають бути нулями. Отже, поряд з (21) дістаємо

. (23)

Тепер для визначення невідомих та ще m множників маємо стільки ж рівнянь — m рівностей зв’язку і рівнянь:

.

Для того щоб спростити запис цих рівнянь, звичайно вводять допоміжну функцію

.

Тоді зазначені рівності можна подати у вигляді

. (24)

Теорема 1.24. (Достатня умова умовного екстремуму.) Нехай функції,,, двічі неперервно диференційовні в околі точки і нехай у цій точці виконуються необхідні умови існування екстремуму функції при обмеженнях (19).


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 302 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие ходатайств в уголовном судопроизводстве | Процессуальный порядок заявления, рассмотрения и разрешения ходатайств | Процессуальный порядок подачи, рассмотрения и разрешения жалоб | Протокол № _8___ | Теорема 1.20. Для точки екстремуму функ­ції частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують. | Нагадаємо, що у вищій алгебрі квадратичну форму | Отже, якщо | Метод найменших квадратів | Вирівнювання за допомогою параболи | Найбільше та найменше значення функції багатьох змінних |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Не є точкою екстремуму, якщо| Якщо за умов (25) другий диференціал є невизначеною квадратичною формою, то в точці умовного екстремуму немає.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.009 сек.)